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Método de Gauss-Seidel

Resolva sistemas lineares e veja cada iteração do método.

Sistema (coeficientes e termos independentes)

x1+x2+x3=
x1+x2+x3=
x1+x2+x3=
Chute inicial:

A matriz é estritamente diagonal dominante: a convergência está garantida.

Convergiu em 7 iterações (erro 2.24e-5 < tolerância).

x1 = 1,999998 x2 = 3,999998 x3 = 3,0000

Comparação: o método de Jacobi precisou de 11 iterações com os mesmos dados.

kx1x2x3Erro (máx |Δx|)
00,00000,00000,0000—
11,75003,50003,00003.500e+0
21,87503,93752,96254.375e-1
31,993753,9921882,9990631.187e-1
41,9982813,9990232,9995086.836e-3
51,9998793,9998782,9999761.598e-3
61,9999753,9999852,9999931.068e-4
71,9999983,9999983,00002.239e-5

O método de Gauss-Seidel é um método iterativo para resolver sistemas lineares Ax = b. A calculadora mostra a tabela com o valor de cada variável em cada iteração e o erro entre passos, verifica se a matriz é diagonal dominante e compara o número de iterações com o método de Jacobi, como nos exercícios de cálculo numérico.

Fórmula de Iteração

Para cada linha i, a nova aproximação é:

x_i(k+1) = [ b_i − Σ_{j<i} a_ij · x_j(k+1) − Σ_{j>i} a_ij · x_j(k) ] / a_ii

As variáveis anteriores à i (j < i) já usam os valores da iteração atual (k+1); as posteriores ainda usam os da iteração anterior (k). Essa é a diferença em relação ao método de Jacobi.

Critério de Parada

A calculadora para quando a maior diferença entre duas iterações, max |x(k+1) − x(k)|, fica menor que a tolerância escolhida, ou quando atinge o número máximo de iterações.

Exemplo Resolvido

4x₁ −  x₂ +  x₃ =   7
4x₁ − 8x₂ +  x₃ = −21
−2x₁ + x₂ + 5x₃ =  15

Partindo de (0, 0, 0), a primeira iteração dá x₁ = 7/4 = 1,75; x₂ = (21 + 4·1,75)/8 = 3,5 (já usando o x₁ novo); x₃ = (15 + 2·1,75 − 3,5)/5 = 3. Em poucas iterações os valores se aproximam da solução exata (2, 4, 3). A matriz é diagonal dominante, então a convergência está garantida.

Vantagens e Limitações

  • Usa pouca memória e é ótimo para sistemas grandes e esparsos, como os que surgem em engenharia e simulações.
  • Erros de arredondamento não se acumulam como na eliminação de Gauss, porque cada iteração corrige a anterior.
  • Não converge para qualquer sistema: depende da estrutura da matriz.

Perguntas Frequentes

Como funciona o método de Gauss-Seidel?

Cada equação é isolada para a variável da diagonal. A partir de um chute inicial, as variáveis são recalculadas uma por vez, e cada novo valor já é usado no cálculo das próximas variáveis da mesma iteração. O processo se repete até a diferença entre duas iterações ficar menor que a tolerância.

Qual a diferença entre Gauss-Seidel e Jacobi?

No método de Jacobi, todas as variáveis de uma iteração são calculadas com os valores da iteração anterior. No Gauss-Seidel, os valores recém-calculados são usados imediatamente. Por isso o Gauss-Seidel costuma convergir em menos iterações.

Quando o método de Gauss-Seidel converge?

A convergência é garantida quando a matriz é estritamente diagonal dominante (critério das linhas) ou simétrica e definida positiva. Fora desses casos o método pode convergir ou divergir; reordenar as equações para colocar os maiores coeficientes na diagonal costuma resolver.

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