Introdução
O símbolo ! depois de um número assusta muita gente na primeira vez: 5! não é um "5 animado", é o fatorial de 5. Esse conceito aparece em análise combinatória, probabilidade, estatística e até em programação — e é muito mais simples do que parece.
Neste artigo você vai entender o que é fatorial, como calcular na mão e para que ele serve, com uma tabela pronta de 0! a 15!. Para números maiores, use a nossa calculadora de fatorial online e gratuita.
O que é fatorial?
O fatorial de um número natural n, escrito como n!, é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até n:
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1
Exemplo: fatorial de 5
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Exemplo: fatorial de 7
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040
Repare como o valor cresce rápido: enquanto 5! é 120, 10! já passa de 3,6 milhões. Esse crescimento explosivo é uma das características mais marcantes do fatorial.
Por que 0! é igual a 1?
Essa é a dúvida mais comum. Por convenção matemática, 0! = 1.
A explicação intuitiva: o fatorial conta de quantas maneiras podemos organizar um conjunto. Existe exatamente uma maneira de organizar um conjunto vazio — não fazendo nada. Além disso, a definição recursiva n! = n × (n−1)! só funciona de forma consistente se 0! = 1.
Vale lembrar: fatorial não é definido para números negativos nem, na definição básica, para números decimais (a extensão para decimais existe e se chama função gama).
Tabela de fatoriais de 0! a 15!
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5.040 |
| 8 | 40.320 |
| 9 | 362.880 |
| 10 | 3.628.800 |
| 11 | 39.916.800 |
| 12 | 479.001.600 |
| 13 | 6.227.020.800 |
| 14 | 87.178.291.200 |
| 15 | 1.307.674.368.000 |
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Para que serve o fatorial?
Análise combinatória
O fatorial é a base para contar agrupamentos:
- Permutações: de quantas formas 4 pessoas podem se sentar em fila? 4! = 24 formas.
- Arranjos: quantas senhas de 3 letras distintas com 5 letras disponíveis? 5! ÷ 2! = 60.
- Combinações: quantos grupos de 6 números na Mega-Sena? 60! ÷ (6! × 54!) = 50.063.860.
Probabilidade e estatística
Cálculos de probabilidade em sorteios, jogos e amostras usam fatoriais o tempo todo — junto com ferramentas como o desvio padrão para analisar os resultados.
Programação e algoritmos
O fatorial é o exemplo clássico de recursão em programação, e aparece na análise de complexidade de algoritmos que testam todas as ordenações possíveis.
Como calcular fatorial passo a passo
- Escreva o número e todos os inteiros positivos abaixo dele até 1.
- Multiplique de cima para baixo, acumulando o resultado.
- Confira: o resultado de n! sempre é divisível por todos os números de 1 a n.
Exemplo com 6!:
- 6 × 5 = 30
- 30 × 4 = 120
- 120 × 3 = 360
- 360 × 2 = 720
- 720 × 1 = 720
Perguntas frequentes
Existe fatorial de número negativo?
Não. O fatorial só é definido para inteiros não negativos (0, 1, 2, 3...).
O que é fatorial duplo?
É a multiplicação de dois em dois: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105. Aparece em problemas avançados de matemática e física.
Como calcular fatorial na calculadora do celular?
A maioria das calculadoras científicas de celular tem a tecla x! (gire o celular para o modo paisagem). Ou use a calculadora de fatorial online, que funciona em qualquer navegador.
Conclusão
Fatorial é só uma multiplicação em cadeia: n! = n × (n−1) × ... × 1, com a convenção de que 0! = 1. Ele é a peça central da análise combinatória e aparece em qualquer problema de contagem. Para não perder tempo com multiplicações gigantes, deixe a conta com a calculadora de fatorial do Numexa — grátis, rápida e sem cadastro.